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1.内容简介 本书根据江苏省普通高等学校非理科专业高等数学竞赛委员会制订的高等数学竞赛大纲,并参照教育部制订的考研数学考试大纲编写而成,内容分为极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、空间解析几何、级数、微分方程等八个专题,每个专题含“基本概念与内容提要”、“竞赛题与精选题解析”、“练习题”三个部分。其中,竞赛题选自江苏(1—14届)、北京(1—15届)、浙江(1—10届)、广东、陕西、上海、天津等省市大学生数学竞赛试题;全国大学生数学竞赛试题(1—8届预赛和决赛);清华大学、南京大学、上海交通大学等高校大学生数学竞赛试题;莫斯科大学等国外高校大学生数学竞赛试题。高等数学竞赛能激励大学生们学习高等数学的兴趣,活跃思想。高等数学竞赛试题中既含基本题,又含很多具有较高水平和较大难度的趣味题，这些题目构思绝妙,方法灵活,技巧性强,本书逐条解析,并对重要题目深入分析,总结解题方法与技巧。本书可供准备高等数学竞赛的老师和学生作为应试教程,也可供各类高等学校的大学生作为学习高等数学和考研的参考书,特别有益于成绩优秀的大学生提高高等数学水平。 2.目录 11基本概念与内容提要1 1.1.1一元函数基本概念1 1.1.2数列的极限1 1.1.3函数的极限1 1.1.4证明数列或函数极限存在的方法2 1.1.5无穷小量2 1.1.6无穷大量3 1.1.7求数列或函数的极限的方法3 1.1.8函数的连续性3 12竞赛题与精选题解析4 1.2.1求函数的表达式（例11—13）4 1.2.2利用四则运算求极限（例14—116）6 1.2.3利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例117—126）12 1.2.4利用两个重要极限求极限（例127—130）18 1.2.5利用等价无穷小因子代换求极限（例131—133）20 1.2.6无穷小比较与无穷大比较（例134—135）20 1.2.7连续性与间断点（例136—141）21 1.2.8利用介值定理的证明题（例142—146)23 练习题一26 专题2一元函数微分学28 21基本概念与内容提要28 2.1.1导数的定义28 2.1.2左、右导数的定义28 2.1.3微分概念28 2.1.4基本初等函数的导数公式29 2.1.5求导法则29 2.1.6高阶导数29 2.1.7微分中值定理30 2.1.8泰勒公式与马克劳林公式30 2.1.9洛必达法则31 2.1.10导数在几何上的应用32 22竞赛题与精选题解析33 2.2.1利用导数的定义解题（例21—28）33 2.2.2利用求导法则解题（例29—211）38 2.2.3求高阶导数（例212—223）39 2.2.4与微分中值定理有关的证明题（例224—242）44 2.2.5马克劳林公式与泰勒公式的应用（例243—263）55 2.2.6利用洛必达法则求极限（例264—275）69 2.2.7导数在几何上的应用（例276—293）73 2.2.8不等式的证明(例294—2103)82 练习题二89 专题3一元函数积分学92 3.1基本概念与内容提要92 3.1.1不定积分基本概念92 3.1.2基本积分公式92 3.1.3不定积分的计算93 3.1.4定积分基本概念94 3.1.5定积分中值定理94 3.1.6变限的定积分94 3.1.7定积分的计算95 3.1.8奇偶函数与周期函数定积分的性质95 3.1.9定积分在几何与物理上的应用95 3.1.10反常积分97 3.2竞赛题与精选题解析98 3.2.1求原函数（例3.1—3.4）98 3.2.2求不定积分（例3.5—3.18）100 3.2.3利用定积分的定义求极限（例3.19—3.25）104 3.2.4应用积分中值定理解题（例3.26—3.28）109 3.2.5变限的定积分的应用（例3.29—3.44）111 3.2.6定积分的计算（例3.45—3.63）119 3.2.7定积分在几何与物理上的应用（例3.64—3.76）127 3.2.8积分不等式的证明（例3.77—3.102）136 3.2.9积分等式的证明（例3.103—3.105）153 3.2.10反常积分（例3.106—3.114）156 练习题三162 专题4多元函数微分学165 41基本概念与内容提要165 4.1.1二元函数的极限与连续性165 4.1.2偏导数与全微分165 4.1.3多元复合函数与隐函数的偏导数166 4.1.4高阶偏导数168 4.1.5二元函数的极值168 4.1.6条件极值168 4.1.7多元函数的最值170 4.2竞赛题与精选题解析170 4.2.1求二元函数的极限（例4.1—4.2）170 4.2.2二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3—4.9）171 4.2.3求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.10—4.22）174 4.2.4求高阶偏导数（例4.23—4.32）179 4.2.5求二元函数的极值（例4.33—4.37）186 4.2.6求条件极值（例4.38—4.40）190 4.2.7求多元函数在有界闭域上的最值（例4.41—4.42）192 练习题四193 专题5多元函数积分学196 51基本概念与内容提要196 5.1.1二重积分基本概念196 5.1.2二重积分的计算197 5.1.3交换二次积分的次序198 5.1.4三重积分基本概念与计算198 5.1.5重积分的应用199 5.1.6曲线积分基本概念与计算200 5.1.7格林公式202 5.1.8曲面积分基本概念与计算203 5.1.9斯托克斯公式205 5.1.10高斯公式206 52竞赛题与精选题解析206 5.2.1二重积分的计算（例51—514）206 5.2.2交换二次积分的次序（例515—523）214 5.2.3三重积分的计算（例524—528）218 5.2.4与重积分有关的不等式的证明（例529—536）221 5.2.5曲线积分的计算（例537—542）227 5.2.6应用格林公式解题（例543—553）231 5.2.7曲面积分的计算（例554—556）238 5.2.8应用斯托克斯公式解题（例557—558）241 5.2.9应用高斯公式解题（例559—565）242 5.2.10多元函数积分学的应用题（例566—575）248 练习题五254 专题6空间解析几何257 61基本概念与内容提要257 6.1.1向量的基本概念与向量的运算257 6.1.2空间的平面258 6.1.3空间的直线258 6.1.4空间的曲面259 6.1.5空间的曲线260 62竞赛题与精选题解析261 6.2.1向量的运算（例61—65）261 6.2.2空间平面的方程（例66—67）262 6.2.3空间直线的方程（例68—612）263 6.2.4空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例613—624）265 6.2.5空间曲线的方程与空间曲线的切线（例625—630）271 练习题六276 专题7级数278 71基本概念与内容提要278 7.1.1数项级数的主要性质278 7.1.2正项级数敛散性判别法278 7.1.3任意项级数敛散性判别法279 7.1.4幂级数的收敛半径、收敛域与和函数279 7.1.5初等函数关于x的幂级数展开式279 7.1.6傅氏级数280 7.2竞赛题与精选题解析281 7.2.1判别正项级数的敛散性（例7.1—7.14）281 7.2.2判别任意项级数的敛散性（例7.15—7.27）291 7.2.3求幂级数的收敛域与和函数（例7.28—7.45）299 7.2.4求数项级数的和（例7.46—7.52）310 7.2.5求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.53—7.57）314 7.2.6求函数的傅氏级数展开式（例758—759）317 练习题七318 专题8微分方程320 8.1基本概念与内容提要320 8.1.1微分方程的基本概念320 8.1.2一阶微分方程320 8.1.3二阶微分方程321 8.1.4微分方程的应用323 8.2竞赛题与精选题解析323 8.2.1微分方程的特解（例8.1—8.3）323 8.2.2变量可分离方程的应用题（例8.4—8.8）324 8.2.3齐次微分方程的应用题（例8.9）327 8.2.4一阶线性微分方程的应用题（例8.10—8.12）328 8.2.5求解二阶线性微分方程（例8.13—8.20）330 8.2.6求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.21—8.22） 334 练习题八336 练习题答案与提示337 |
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